关于魔方阵的解法

作者：unknown 更新时间： 2005-05-10    

首先把从１～n2的整数按从小到大的顺序排列成一个n×n的方阵Ａ进行观察。(本文中所有n都是指大于1的奇数，下文中均以"A"代表这类顺序排列的n×n方阵)

以5阶阵为例：以下是A方阵

1  2  3  4  5

6  7  8  9  10

11 12 13 14 15

16 17 18 19 20

21 22 23 24 25

下边是魔方阵B:

12 16 25 4  8

6  15 19 23 2

5  9  13 17 21

24 3  7  11 20

18 22 1  10  14

先假设n阶奇次魔方阵B是存在的，从A中可以看出，B的任一元素在A中都有唯一确定的行号和列号组合(y,x)。

分离出B中所有元素在A中的行号y来构成n×n方阵I，让I(i,j)等于从B(i,j)分离出来的y；(如I(1,1) =3,即12在A中的行号A(3,2);I(1,2)=4，即16在A中的行号A(4,1)。)以下是I方阵:

3  4  5  1  2

2  3  4  5  1

1  2  3  4  5

5  1  2  3  4

4  5  1  2  3

同样分离出B中所有元素在A中的列号y来构成n×n方阵J，让J(i,j)等于从B(i,j)分离出来的x。以下是J方阵

2  1  5  4  3

1  5  4  3  2

5  4  3  2  1

4  3  2  1  5

3  2  1  5  4

观察方阵I特征为：

        1.组成方阵的数为1～n的整数；

        2.任一行、列均遍历1～n的所有整数；

        3.主对角线上的数均为(n+1)/2,辅对角线遍历1～n的所有整数。

方阵J特征前两点同I，区别是第三点,辅对角线上的数均为(n+1)/2，主对角线遍历1～n的所有整数。 另外还有容易忽略的一点，I、J方阵对应位置上的数字组合[I(i,j)，J(i,j)]是唯一的。

      　综合以上的结论可以知道：B(i,j)=(I(i,j)-1)×n+J(i,j)。所以只要构造出这样两个只含1～n的数的方阵I和J，就可以确定一个n×n的魔方阵。

现在，问题就转化为怎样构造分别满足I和J的特征的两个n×n方阵。其实完成这样的算法是很简单的，可以按以下方法实现：

1)　方阵I的第一行由(n+1)/2打头,后面依次为前一个数关于n的循环后继;

2)方阵I的第i+1行由第i行循环右移得到。

本人给出的程序：

main()

{

int n,i,j;

int a[20][20],x[20][20],y[20][20];/* a数组为最后结果数组文中的B方阵，X，Y分别是文中提到的数组I，J*/

printf("please input the number:");

scanf("%d",&n); /*输入需要的数组维数*/

 x[0][0]=(n+1)/2;

 for(j=1;j<n;j++)

  {

   if(x[0][j-1]==n) x[0][j]=x[0][j-1]+1-n;

   else            x[0][j]=x[0][j-1]+1;

 }/*给x中的第一行元素赋值*/

for(i=1;i<n;i++)

 for(j=0;j<n;j++)

  {

    if(j-1<0) x[i][j]=x[i-1][j-1+n];

    else       x[i][j]=x[i-1][j-1];

} /*通过变换给X的所有元素赋值*/

clrscr();

printf("X:\n");

for(i=0;i<n;i++)

 for(j=0;j<n;j++)

 {

 printf("%3d",x[i][j]);

 if(j==n-1)printf("\n");

 }/*输出X数组*/

for(i=0;i<n;i++)

 for(j=0;j<n;j++)

 y[i][j]=x[i][n-1-j];/*通过文中提到的公式给Y数组赋值*/

printf("Y:\n");

for(i=0;i<n;i++)

 for(j=0;j<n;j++)

   {printf("%3d",y[i][j]);

   if(j==n-1)printf("\n");

   }/*输出Y数组*/

for(i=0;i<n;i++)

 for(j=0;j<n;j++)

   a[i][j]=(x[i][j]-1)*n+y[i][j];

printf("A:\n");

for(i=0;i<n;i++)

 for(j=0;j<n;j++)

 {printf("%5d",a[i][j]);

 if(j==n-1)printf("\n");}

/*输出A数组结果*/

 }